Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расположение точек относительно прямой

Пусть $l_{1}: A_{1}x + B_{1}y + C_{1} = 0, l_{2}: A_{2}x + B_{2}y + C_{2} = 0$, прямые $l_{1}$ и $l_{2}$: 1) пересекаются $\iff \dfrac{A_{1}}{A_{2}} \neq \dfrac{B_{1}}{B_{2}}$ 2) параллельны $\iff \dfrac{A_{1}}{A_{2}} = \dfrac{B_{1}}{B_{2}} \neq \dfrac{C_{1}}{C_{2}}$ 3) совпадают $\iff \dfrac{A_{1}}{A_{2}} = \dfrac{B_{1}}{B_{2}} = \dfrac{C_{1}}{C_{2}}$

$\large{\impliedby}$ Рассмотрим систему линейных уравнений: $$\begin{cases} A_{1}x + B_{1}y = -C_{1} \\ A_{2}x + B_{2}y = -C_{2} \end{cases} ~~~~~~~~ (1)$$ $l_{1}$ и $l_{2}$ пересекаются $\iff$ единственное решение, $l_{1}$ и $l_{2}$ параллельны $\iff$ система не имеет решений, $l_{1}$ и $l_{2}$ совпадают $\iff$ бесконечно много решений. Случай 1: $$\dfrac{A_{1}}{A_{2}} \neq \dfrac{B_{1}}{B_{2}} \iff \begin{vmatrix} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \end{vmatrix} \neq 0$$ Тогда по теореме Крамера система (1) имеет единственное решение, т.е. прямые пересекаются. Случай 2: $\dfrac{A_{1}}{A_{2}} = \dfrac{B_{1}}{B_{2}} \neq \dfrac{C_{1}}{C_{2}}$ Убедимся, что прямые параллельны. Положим $\dfrac{A_{1}}{A_{2}} = \dfrac{B_{1}}{B_{2}} = t \Rightarrow A_{1} = tA_{2}, B_{1} = tB_{2}$. Предположим, что система (1) имеет решение $(x_{0}, y_{0})$, т.е.: $$\begin{cases} tA_{2}x_{0} + tB_{2}y_{0} + C_{1} = 0 \\ A_{2}x_{0} + B_{2}y_{0} + C_{2} = 0 \end{cases}$$ Умножим второе равенство на $-t$ и сложим с первым. Получим $C_{1} - C_{2}t = 0 \Rightarrow \dfrac{C_{1}}{C_{2}} = t$, что противоречит $\dfrac{B_{1}}{B_{2}} \neq \dfrac{C_{1}}{C_{2}}$ Случай 3: $\dfrac{A_{1}}{A_{2}} = \dfrac{B_{1}}{B_{2}} = \dfrac{C_{1}}{C_{2}}$ Пусть $\dfrac{A_{1}}{A_{2}} = t \Rightarrow A_{1} = tA_{2}, B_{1} = tB_{2}, C_{1} = tC_{2}$, первое уравнение системы (1) можно записать в виде $t(A_{2}x + B_{2}y + C_{2}) = 0, t \neq 0$, а значит первое уравнение (1) равносильно второму. Следовательно, они определяют одну и ту же прямую. $\large{\implies}$ Пусть прямые пересекаются. Тогда условия 2) и 3) не выполняются, так как иначе прямые были бы либо параллельны, либо совпадали. Следовательно, выполнено условие случая 1), т.е. $\dfrac{A_{1}}{B_{1}} = \dfrac{A_{2}}{B_{2}}$. Аналогично для остальных случаев. $~~~\square$

Пусть $M(x', y')$ - точка плоскости, $\lambda$ и $\mu$ - полуплоскости. Тогда: $$\begin{align} M \in \lambda &\iff Ax' + By' + C > 0 \\ M \in \mu &\iff Ax' + By' + C < 0 \end{align}$$

Пусть $M \in \lambda$. Через точку $M$ проведём прямую, коллинеарную главному вектору $\vec{n}$. Так как $\vec{n} \nparallel l$, эта прямая пересечёт $l$. Обозначим точку пересечения через $N(x'', y'')$. Очевидно $Ax'' + By'' + C = 0$. $\overrightarrow{NM} \uparrow\uparrow \vec{n} \Rightarrow \overrightarrow{NM} = t \vec{n}, t>0$. Запишем в координатах: $$\begin{cases} x' - x'' = tA \\ y' - y'' = tB \end{cases} \iff \begin{cases} x' = x'' + tA \\ y' = y'' + tB \end{cases}$$ А значит: $$\begin{gather} Ax' + By' + C = A(x'' + tA) + B(y'' + tB) + C = \\ = Ax'' + By'' + C + t(A^{2} + B^{2}) = t(A^{2} + B^{2}) > 0 \end{gather}$$ Второе утверждение доказывается аналогично, только $t < 0$ $\square$

$P(x_{1}, y_{1})$ и $Q(x_{2}, y_{2})$ расположены по одну сторону от прямой $Ax + By + C = 0$ тогда и только тогда, когда $Ax_{1} + By_{1} + C$ и $Ax_{2} + By_{2} + C$ имеет одинаковый знак, иначе - по разные стороны.